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欧几里得学生卡农对欧几里得说:“如果可以可靠的求出两个数字的最大公约数?”
欧几里得说:“用辗转相除法就可以,如果求a和b的最大公约数,如果a大于b,那就是a除以b,然后得到余数,然后再让除数b除以余数,然后一直让除数除以余数,最后余数为0的时候,得到的除数就是a和b的最大公约数。”
卡农说:“假如说1997和615这两个数字。”
欧几里得说:“1997除以615,等于3余出152。”
卡农说:“然后怎么求?”
欧几里得说:“除数除以余数,615除以152等于4余7.”
卡农说:“然后152除以7等于21余5.”
欧几里得接着说:“没错,然后7除以5,等于1余2.”
卡农说:“5除以2,等于2余1.”
欧几里得说:“2除以1,等于2余0.”
卡农说:“不能再往下了,余数已经为0,所以1997和615的最大公约数为1.”
欧几里得说:“所以说,相当于没有最大公约数。”
在以上基础上,后来数学中发展了环的概念,整环r是符合一下接个要求的:
1、a
关于加法成为一个
abel
群(其零元素记作
0);
2、乘法满足结合律:(a
*
b)*
c
=
a
*(b
*
c);
3、乘法对加法满足分配律:a
*(b
+
c)=
a
*
b
+
a
*
c,(a
+
b)*
c
=
a
*
c
+
b
*
c;
如果环
a
还满足以下乘法交换律,则称为“交换环”
:
4、乘法交换律:a
*
b
=
b
*
a。
如果交换环
a
还满足以下两条件,就称为“整环”
(integral
domain):
5、a
中存在非零的乘法单位元,即存在
a
中的一个元素,记作
1,满足:1
不等于
0,且对任意
a,有:e*
a
=
a
*
e=
a;
6、ab=0
=>
a=0
或
b=0。
而后来也引入了欧几里得整环的概念,这是抽象代数中,这是一种能作辗转相除法的整环。
凡欧几里得整环必为主理想环。
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